Основи лінійної алгебри

Світ енциклопедій

Універсальна підбірка науково-популярних онлайн-енциклопедій для учнів та студентів

Основи лінійної алгебри

Основи лінійної алгебри

Лінійна залежність векторів. Базис системи векторів

Вираз видуλ1 * A1 +λ2 * A2 + ... +λn * An називається лінійною комбінацією векторів A1, A2, ..., An з коефіцієнтами λ1, λ2 ...,λn.

Визначення лінійної залежності системи векторів

Система векторів A1, A2, ..., An називається лінійно залежною, якщо існує ненульовий набір чисел λ1, λ2 ...,λn, при якому лінійна комбінація векторів λ1 * A1 +λ2 * A2 + ... +λn * An дорівнює нульовому вектору, тобто система рівнянь: A1x1 + A2x2 + ... + Anxn =Θ має ненульове рішення.

Детальніше: Лінійна залежність векторів. Базис системи векторів

N-мірні вектори

Безліч чисел пронумерована за допомогою натуральних числі і розставлених в порядку зростання їх номерів називається числовою послідовністю.

Загальна характеристика вектора

N-мірним вектором називається послідовність чисел. Ці числа називаються координатами вектора. Число координат вектора n називається розмірністю вектора.

Детальніше: N-мірні вектори

Метод Крамера

Рішення систем рівнянь

Нехай є система рівнянь:

Позначимо через Δ визначник матриці системи і через Δj визначник, який виходить з визначника Δ Помітили j-го шпальти стовпцем правих частин системи (j = 1,2, ... n).

Детальніше: Метод Крамера

Визначник матриці. Метод Крамера

Для будь квадратної матриці може бути знайдена величина, яка називається визначником.

Визначник - це квадратна таблиця чисел або матіматіческіх символів (Δd).

Для матриці другого порядку визначник обчислюється за формулою:

Детальніше: Визначник матриці. Метод Крамера

Матричний метод в економічному аналізі

Поряд з іншими економіко-математичними методами в аналізі господарської діяльності знаходять застосування також матричні методи. Ці методи базуються на лінійній і векторно-матричної алгебри. Такі методи застосовуються для цілей аналізу складних і багатовимірних економічних явищ. Найчастіше ці методи використовуються при необхідності порівняльної оцінки функціонування організацій та їх структурних підрозділів.

Детальніше: Матричний метод в економічному аналізі

Рішення матричних рівнянь

Матричні рівняння можуть мати вигляд:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

де А, В, С - задаються матриці, Х- шукана матриця.

Матричні рівняння вирішуються за допомогою множення рівняння на зворотні матриці.

Наприклад, щоб знайти матрицю з рівняння , необхідно помножити це рівняння на зліва.

Детальніше: Рішення матричних рівнянь

Зворотна матриця. Рішення матричних рівнянь

Нехай є квадратна матриця n-го порядку

Матриця А-1 називається зворотною матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А-1 = Е, де Е - одинична матриця n-го порядку.

Одинична матриця - така квадратна матриця, у якої всі елементи по головній діагоналі, що проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута, - одиниці, а решта - нулі, наприклад:

Детальніше: Зворотна матриця. Рішення матричних рівнянь

Алгоритм методу Жордана-Гаусса

Алгоритм розв'язання систем рівнянь методом Жордана-Гаусса складається з ряду однотипних кроків, на кожному з яких виробляються дії в наступному порядку:

  1. Перевіряється, чи не є система несумісною. Якщо система містить суперечливе рівняння, то вона несовместна.
  2. Перевіряється можливість скорочення числа рівнянь. Якщо в системі міститься тривіальне рівняння, його викреслюють.
  3. Якщо система рівнянь є дозволеною, то записують загальне рішення системи і якщо необхідно - приватні рішення.
  4. Якщо система не є дозволеною, то в рівнянні, що не містить дозволеної невідомою, вибирають дозволяє елемент і виробляють перетворення Жордана з цим елементом.
  5. Далі заново переходять до пункту 1
Приклад 3 Розв'язати систему рівнянь методом Жордана-Гаусса.

Знайти: Два загальних і два відповідних базисних рішення

Детальніше: Алгоритм методу Жордана-Гаусса

Елементарні перетворення лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь приводяться до рівносильним дозволеним системам за допомогою елементарних перетворень.

Теорема (2)

Якщо будь-яке рівняння системи помножити на деякий відмінне від нуля число, а інші рівняння залишити без зміни, то вийде система, рівносильна даній. (Тобто якщо помножити ліву і праву частину рівняння на одне і те ж число то вийде рівняння, рівносильне даному)

Детальніше: Елементарні перетворення лінійних рівнянь

Рекомендуємо переглянути